高三数学下学期期中模拟试题
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，其中第II卷第(15)题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：
样本数据 的标准差 其中 为样本平均数
锥体体积公式 其中 为底面面积， 为高
第I卷
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设M={ }, N={ },则( )
A.M N B.N M C.M N D.N M
2.已知 为虚数单位, 则复数 的虚部为( )
A. 0 B. C. 1 D.
3.在同一平面直角坐标系中，画出函数
的部分图像如下，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图所示，则该几何体的体积是( )
A.8 B.
C. D.
5. 如果对于任意实数 ， 表示不超过 的最大整数. 例如 ， .
那么 是 的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.对任意实数 函数 的图象都不经过点 则点 的轨迹是( )
A.两条平行直线 B. 四条除去顶点的射线 C. 两条抛物线 D. 两条除去顶点的抛物线
7. 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 = 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 所示，两射线 与 交于点 ，下列5个向量中，① ② ③ ④ ⑤ 若以 为起点，终点落在阴影区域内(含边界)的向量有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
9.若函数 的不同零点个数为 ,则 的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为 ( )，传输信息为 ，其中 ， 运算规则为： ， ， ， ，例如原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )
A.11010 B.01100 C.10111 D.00011
第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分。
11.已知函数 ， 表示函数 的导函数，则函数 的图像在点 处的切线方程为______________.
12. 一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是 .
13. 设圆 的切线 与 轴的正半轴, 轴的正半轴分别交于点 , ，当 取最小值时，切线 的为 .
14. 在极坐标系中，曲线 的焦点的极坐标为 .
15. 图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图中，将第1个三角形的三边中点为顶点的三角形着色,将第 个图形中的每个未着色三角形的三边中点为顶点的.三角形着色,得到第 个图形, 这样这些图形中着色三角形的个数依次构成一个数列 ，则数列 的通项公式为 .
三.解答题：本大题共75分。其中(16)～(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
16.(本小题满分12分)在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)已知 且 ，求函数 在区间 上的最大值与最小值.
17.(本题满分12分)莆田市在每年的春节后,市政府都会发动公务员参与到植树活动中去.林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测.现从甲乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，量出的高度如下(单位：厘米)
甲：
乙：
(Ⅰ)根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据
你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出
两个统计结论;
(Ⅱ)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为 ,将
这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行的运算,问
输出的 大小为多少?并说明 的统计学意义.
18.(本小题满分12分),在梯形 中, ∥ , ,。 ,平面 平面 ,四边形 是矩形, ,点 在线段 上.。
(1)求证: 平面 ;。
(2)当 为何值时, ∥平面 ?证明你的结论;
19.(本小题满分12分)设函数 ,其中实数 为常数.
(Ⅰ)求证: 是函数 为奇函数的充要条件;
(Ⅱ) 已知函数 为奇函数,当 时,求表达式 的最小值.
20.(本题满分13分)
21. (本题满分14分) 设 是两个数列，点 为直角坐标平面上的点.
(Ⅰ)对 若三点 共线，求数列 的通项公式;
(Ⅱ)若数列{ }满足： ，其中 是第三项为8，公比为4的等比数列.求证：点列 (1， 在同一条直线上，并求出此直线的方程.
高三数学下学期期中试题：冲刺全真模拟试题第I卷答案
一、1~5 B D D D C A 6~10 B C A B C
提示：
1. 因为集合 ，所以N M，选B.
2.
3.由 知
函数 的图像的振幅、最小正周期分别为
对照图形便知选D.
4.几何体是正方体截去一个三棱台， .
5. ①设 则 ，
故 是 的充分条件;②设 则
但 故 不是 的必要条件.
6. 设 ，则对任意实数 函数 的图象
都不经过点 关于 的方程 没有实数解
或
所以点 的轨迹是除去两点 的两条平行直线 与
7. 1，可域为 的边界及内部，双曲线 与可行域有公共点时
8. 设 在阴影区域内，则射行线 与线段 有公共点，记为 ，则存在实数 使得 ，且存在实数 使得 ，从而
，且 .只有②符合.
9.
函数 在定义域 上是减函数,且 ,
,故
10. 从101 中可知选C
二、11. 12. 13. 14. 15.
提示：
11.
故切线方程为
12. 从袋中有放回地先后取出2，共有16种等可能的结果，其中取出的两个球同色共有8种等可能的结果，故所求概率为
13. 设 ，则切线 的方程为 ,
由 得 ，
当且仅当 时，上式取等号，故 ，此时切线 的方程为
14. ,
其焦点的直角坐标为 对应的极坐标为
15.
当 时，
也可由不完全归纳法猜得.
三、
16.解：(Ⅰ)由已知，根据正弦定理得 1分
即 ， 3分
5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得： 设
， 9分
.
当 时, 有最小值 当 时, 有最大值
故函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 与 12分
17.解:(Ⅰ)茎叶图2. 3分
统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树
苗的平均高度;
②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;
③甲种树苗的中位数为 ，乙种树苗的中位数为 ;
④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，
乙种树苗的高度分布较为分散. 6分
(Ⅱ) (给分说明:写出的结论中,1个正确得2分.)
8分
10分
表示 株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量.
值越小，表示长得越整齐， 值越大，表示长得越参差不齐. 12分
18.证明：(Ⅰ)在梯形 中， ，
四边形 是等腰梯形，
且 ，
又 平面 平面 ，交线为 ， 平面 5分
12分
解法二：当 时， 平面 ，
由(Ⅰ)知，以点 为原点， 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
，
平面 ，
平面 与 、 共面，
也等价于存在实数 、 ，使 ，
设 . ，
又 ， ，
从而要使得： 成立，
需 ，解得 当 时， 平面 .12分
19.解： (Ⅰ)证法一:充分性: 若 ,则 .1分
① ;2分
②当 时,
函数 为奇函数. 3分
必要性: 若函数 为奇函数,则 ,
即
故 是函数 为奇函数的充要条件. 6分
(Ⅰ)证法二：因为 ，所以函数 为奇函数的充要条件是
故 是函数 为奇函数的充要条件. 6分
(Ⅱ) 若函数 为奇函数, 则 .
①当 时, .7分
②当 时, 8分
设 , .9分
单调减少 极小值 单调增加
10分
的极小值为 ， ，11分
且当 时, .
所以 12分
20.
21.解：(Ⅰ)因三点 共线,
得 故数列 的通项公式为 6分
(Ⅱ)由题意
由题意得
当 时，
.当n=1时， ，也适合上式，
因为两点 的斜率 为常数
所以点列 (1， 在同一条直线上，
且方程为： ，即 . 14分
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