余弦定理练习测试题

余弦定理练习测试题

1.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120°,则边c的值是()

A.8B.217

C.62D.219

解析:选D.根据余弦定理,c2=a2+b2-2abcosC=16+36-2×4×6cos120°=76,c=219.

2.在△ABC中,已知a=2,b=3,C=120°,则sinA的值为()

A.5719B.217

C.338D.-5719

解析:选A.c2=a2+b2-2abcosC

=22+32-2×2×3×cos120°=19.

∴c=19.

由asinA=csinC得sinA=5719.

3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为__________.

解析:设底边边长为a,则由题意知等腰三角形的腰长为2a,故顶角的余弦值为4a2+4a2-a222a2a=78.

答案:78

4.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.

解:法一:根据余弦定理得

b2=a2+c2-2accosB.

∵B=60°,2b=a+c,

∴(a+c2)2=a2+c2-2accos60°,

整理得(a-c)2=0,∴a=c.

∴△ABC是正三角形.

法二:根据正弦定理,

2b=a+c可转化为2sinB=sinA+sinC.

又∵B=60°,∴A+C=120°,

∴C=120°-A,

∴2sin60°=sinA+sin(120°-A),

整理得sin(A+30°)=1,

∴A=60°,C=60°.

∴△ABC是正三角形.

课时训练

一、选择题

1.在△ABC中,符合余弦定理的是()

A.c2=a2+b2-2abcosC

B.c2=a2-b2-2bccosA

C.b2=a2-c2-2bccosA

D.cosC=a2+b2+c22ab

解析:选A.注意余弦定理形式,特别是正负号问题.

2.(2011年合肥检测)在△ABC中,若a=10,b=24,c=26,则最大角的余弦值是()

A.1213B.513

C.0D.23

解析:选C.∵c>b>a,∴c所对的角C为最大角,由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=0.

3.已知△ABC的三边分别为2,3,4,则此三角形是()

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.不能确定

解析:选B.∵42=16>22+32=13,∴边长为4的边所对的角是钝角,∴△ABC是钝角三角形.

4.在△ABC中,已知a2=b2+bc+c2,则角A为()

A.π3B.π6

C.2π3D.π3或2π3

解析:选C.由已知得b2+c2-a2=-bc,

∴cosA=b2+c2-a22bc=-12,

又∵0<A<π,∴A=2π3,故选C.

5.在△ABC中,下列关系式

①asinB=bsinA

②a=bcosC+ccosB

③a2+b2-c2=2abcosC

④b=csinA+asinC

一定成立的有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析:选C.由正、余弦定理知①③一定成立.对于②由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C),显然成立.对于④由正弦定理sinB=sinCsinA+sinAsinC=2sinAsinC,则不一定成立.

6.在△ABC中,已知b2=ac且c=2a,则cosB等于()

A.14B.34

C.24D.23

解析:选B.∵b2=ac,c=2a,

∴b2=2a2,

∴cosB=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a2a

=34.

二、填空题

7.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则AC=________.

解析:由余弦定理,

得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,

即49=25+AC2-2×5×AC×(-12),

AC2+5AC-24=0.

∴AC=3或AC=-8(舍去).

答案:3

8.已知三角形的'两边分别为4和5,它们的夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根,则第三边长是________.

解析:解方程可得该夹角的余弦值为12,由余弦定理得:42+52-2×4×5×12=21,∴第三边长是21.

答案:21

9.在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8,则B的大小是________.

解析:由正弦定理,

得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8.

不妨设a=5k,b=7k,c=8k,

则cosB=5k2+8k2-7k22×5k×8k=12,

∴B=π3.

答案:π3

三、解答题

10.已知在△ABC中,cosA=35,a=4,b=3,求角C.

解:A为b,c的夹角,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,

∴16=9+c2-6×35c,

整理得5c2-18c-35=0.

解得c=5或c=-75(舍).

由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=16+9-252×4×3=0,

∵0°<C<180°,∴C=90°.

11.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边长,若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB,求C的大小.

解:由题意可知,

(a+b+c)(a+b-c)=3ab,

于是有a2+2ab+b2-c2=3ab,

即a2+b2-c22ab=12,

所以cosC=12,所以C=60°.

12.在△ABC中,b=asinC,c=acosB,试判断△ABC的形状.

解:由余弦定理知cosB=a2+c2-b22ac,代入c=acosB,

得c=aa2+c2-b22ac,∴c2+b2=a2,

∴△ABC是以A为直角的直角三角形.

又∵b=asinC,∴b=aca,∴b=c,

∴△ABC也是等腰三角形.

综上所述,△ABC是等腰直角三角形.

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