数列求和的解题方法总结

篇一：数列求和的教学设计

一教学知识点：

数列通项与数列求和

二. 教学要求：

掌握数列的通项公式的求法与数列前n 项和的求法。能通过转化的思想把非等差数列与非等比数列转化为两类基本数列来研究其通项与前n项的和。

三. 教学重点、难点：

重点：等差数列与等比数列的求和，及其通项公式的求法。

难点：转化的思想以及转化的途径。

四. 基本内容及基本方法

1、求数列通项公式的常用方法有：观察法、公式法、待定系数法、叠加法、叠乘法、Sn法、辅助数列法、归纳猜想法等;

(1)根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.

(2)由Sn求an时，用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2这个条件，a1应由a1=S1来确定，最后看二者能否统一.

(3)由递推公式求通项公式的常见形式有：an+1-an=f(n)，

=f(n)，an+1=pan+q，分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法).

2、数列的前n项和

(1)数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序求和法等。

求数列的前n项和，一般有下列几种方法：

(2)等差数列的前n项和公式：

Sn= = .

(3)等比数列的前n项和公式：

①当q=1时，Sn= .

②当q≠1时，Sn= .

(4)倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加.主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和.

(5)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.

(6)裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列.

方法归纳：①求和的基本思想是“转化”。其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式;其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和。

②对通项中含有(-1)n的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇偶性。

③倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应给予重视。

【典型例题】

例1. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n.

(1)求证：{an}为等差数列;

(2)求S n的最小值及相应的n;

(3)记数列{

}的前n项和为Tn，求Tn的表达式。

解：(1)n=1时，a1=S1=-8

n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-10

∴ an=2n-10 an+1-an=2

∴ {an}是等差数列.

(2)Sn=n2-9n=(n-

)2-

∴当n=4或n=5时，Sn有最小值-20.

(3)an=2n-10 ∴ | an |=| 2n-10 |

令an≥0

n≥5 ∴ 当n≤4时，| an |=10-2n

Tn=

，当n≥5时，

Tn=-a1-a2-a3-a4+a5+a6+…+an

=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+a3+a4)=Sn-2S4

=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40

∴ Tn=

篇二：《数列求和》教学设计

等比数列这个名词是我们在数学中经常会用到的一个名词，我们在初中的时候就开始学习等比数列，但是在升入高中以后可能还是对这一个难题束手无策，在这里，小编就要教教大家如何用等比数列求和，攻克这一个数学难题!

一.等比数列求和的教学基础

1.知识结构

先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前n项.

2.重点、难点分析

教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法(如分类讨论思想，错位相减法等)，这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前n项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前n项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意 q=1和q=1两种情况.

3.学习建议

①本节内容分为两课时，一节为等比数列前项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.

②等比数列前n项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论

③等比数列前n项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣

④编拟例题时要全面，不要忽略的情况.

⑤通项公式与前n项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大

⑥补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.

二、等比数列求和公式

一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，且数列中任何项都不为0，

即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。

如： 2、4、8、16......2^10 就是一个等比数列，其公比为2，可写为 an=2×2^(n-1) 通项公式 an=a1×q^(n-1);

1.通项公式与推广式

推广式：an=am×q^(n-m) [^的意思为q的(n-m)次方];

2.求和公式

Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) S∞=a1/(1-q) (n-> ∞)(|q|<1) (q为公比，n为项数)

3.等比数列求和公式推导

①Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

②q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1)

③Sn-q*Sn=a1-a(n+1)

④(1-q)Sn=a1-a1*q^n

⑤Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)

⑥Sn=(a1-an*q)/(1-q)

⑦Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

4性质简介

①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列; 等比数列的性质

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2;

④ 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab(G ≠ 0);

⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零

三.学习等比数列的方法

1知识与技能目标

理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的'问题.

2.过程与方法目标

通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质.

3.情感、态度与价值目标

通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.

4..教学重点、难点

①重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用. 突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即一是知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用;二是过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想;三是能力线：观察能力→初步解决问题能力

.②难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用. 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定;二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.

篇三：浅析数列求和法

摘要：数列求和是高中数学知识中的重点和难点，它在高考中出现的频率高，题型多种多样，考查方式灵活。将数列求和的方法进行总结和归纳能够帮助学生找到其中的解题规律，提高该类型题的成功率。

关键词：高中数学；数列求和；方法；归纳

求数列的前n项和是数列题中的高频考点。它的考查十分灵活，题型变化多样，有以选择题的方式出现，有的则是填空题，甚至还会以一道综合大题的方式进行考查。本文通过用列举典型题的方式，总结归纳了6种常见的数列求和方法，供大家参考。

一、倒序相加法

如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。倒序相加法是数列求和当中应用最广的一种解题方法，它的基本类型可以用公式表示为：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3…具体解法见下面的例题。

例：设等差数列{an},公差为d,求证：{an}的前n项和Sn=n（a1+an）/2

解：Sn=a1+a2+a3+…+an①

倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②

①+②得：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）+…+（an+a1）

又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1

∴2Sn=n（a2+an） Sn=n（a1+an）/2

倒序相加法的解题关键就是要能够看到首项和末项之间的关系，这就需学生要有一定的敏感度，一眼就能找准解题的方法，然后就是要细心地做。()因此，做数列题除了要注意总结和归纳解题方法外，大量的习题训练也是十分必要的。

二、用公式法

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。等差数列的基本求和公式为：Sn=（a1+an）n/2;变形公式为Sn=na1+n（n-1）d/2（d为公差）。等比数列的求和公式为：Sn=na1（q=1）；Sn=a1（1-qn）/（1-q）=（a1-anq）/（1-q）（q≠1）（q为公比，n为项数）。利用公式来求数列之和是一种比较基本的题型，它的难度不大，只要掌握基本公式，并且具有一定的敏感度就能做对这类型的题。

三、裂项相消法

裂项相消法是数列求和中比较难的一类题型，因为它不好看出数列之间的规律。如果裂项不对，也不能将问题解出。裂项相消法的解题原理是：将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

四、错位相减法

若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出{anbn}前n项和。

错位相减法其实并不难，关键是要细心，要能找好两个式子之间的对应项，如果二者相减的时候没有找准对应项，即便思路再对，也会满盘皆输。因此，做任何一道数列题，都要求书写工整，格式规范，以免造成不必要的失分。

五、叠加法

叠加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f（n），其中f（n）在等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f（n），代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an,从而求出Sn.

六、分组求和法

分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，最后将其合并的方法。记住了这一类题型的特点，就能准确找到解题思路。

总之，数列求和以其灵活多变的出题方式和较高的错题率成为高中数学中的难点。这类题虽然难，但也并不是无规律可循的。万变不离其宗，教师在讲课当中应该帮助学生多多总结归纳相关的解题技巧和解题方法，并配合适当的试题训练；学生自身也要多思考，可以准备一个错题记录本时常翻看，有助于将这类问题消化吸收，最终将其完全掌握。

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