数列求和公式方法总结

数列求和是历年高考的必考内容，重点要熟练掌握等差数列、等比数列的求和公式，其中错位相减法和裂项相消法也是考查的重点。下面为大家发分享了数列求和公式方法，希望对大家有帮助！

一、分组转化求和法

若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列构成，则求这个数列的前n项和Sn时可以用分组求和法求解。一般步骤是：拆裂通项――重新分组――求和合并。

例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和

解由和式可知，式中第n项为an=n（3n+1）=3n2+n

∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）

=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）

=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）

=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2

=n（n+1）2

二、奇偶分析求和法

求一个数列的前n项和Sn，如果需要对n进行奇偶性讨论或将奇数项、偶数项分组求和再求解，这种方法称为奇偶分析法。

例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

分析：观察数列的通项公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn与数列项数n的奇偶性有关，故利用奇偶分析法及分组求和法求解，也可以在奇偶分析法的基础上利用并项求和法求的`结果。

解：当n为偶数时，

Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2

=-n2-n2+n2+n2=n

当n为奇数时，

Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2

=-n2+n2+n2-n2=-n

综上所述，Sn=（-1）nn

三、并项求和法

一个数列an的前n项和Sn中，某些项合在一起就具有特殊的性质，因此可以几项结合求和，再求Sn，称之为并项求和法。形如an=（-1）nf（n）的类型，就可以采用相邻两项合并求解。如例3中可用并项求和法求解。

例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002

解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）

=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050

四、基本公式法

如果一个数列是符合以下某种形式，如等差、等比数列或通项为自然数的平方、立方的，那么可以直接利用以下数列求和的公式求和。

常用公式有

（1）等差数列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2

（2）等比数列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q≠1）

（3）1+2+3+…+n=n（n+1）2

（4）1+3+5+…+2n-1=n2

（5）2+4+6+…+2n=n（n+1）

（6）12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）

（7）13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2

例1：已知等比数列an的通项公式是an=12n-1，设Sn是数列an的前n项和，求Sn。

解：∵an=12n-1∴a1=1，q=12

∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1

五、裂项相消法

如果一个数列an的通项公式能拆分成两项差的形式，并且相加过程中可以互相抵消至只剩下有限项时，这时只需求有限项的和，把这种求数列前n项和Sn的方法叫做裂项相消法。

裂项相消法中常用的拆项转化公式有：

（1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）

（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）

（3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]

（4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），

其中n∈N，k∈R且k≠0

例5：求数列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。

解由题知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）

∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n

=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）

=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）

=2（1-1n+1）=2nn+1

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